Aufgrund der von Dir angegebenen Reifengröße, tippe ich mal auf ne Einzylinder F650GS. Wir haben ne Twin, auf der funktioniert der Battlewing 501/502 ziemlich gut. Bei der Single war der BT45 mal die Referenz, der Diagonaloreifen wurde sehr gern gefahren. Viele fahren auch den Ur-Tourance, ein echter Dauerläufer mit mehr als ausreichenden Trocken- und Nasseigenschaften (und lass Dich da nicht von Stammtischparolen verunsichern, dort wo die Helden der Landstraße im Nassen gerutscht sind, wären sie mit jedem anderen Reifen auch gerutscht) Du kannst Dich aber mal in der Nachbarkneipe
www.f650.de umsehen, da sind sehr viel Eintopffahrer versammelt.
Ansonsten sind die im Beitrag davor genannten Alternativen durchaus möglich, die Einzylinder GS litt relativ oft an schwächelnden Lenkkopflagern und auch ans Fahrwerk sollte man bei den von Dir beschriebenen Symptomen denken.