Geht vielleicht auch anders und einfacher, dieser Weg ist das, was mir nach Recherche auf die Schnelle am einfachsten realisierbar und verständlich war… hoffentlich ist es wenigstens halbwegs korrekt und verständlich…
Start Schippen ist Referenzpunkt für Zeit.
t (in h) - Zeit ab Start Schippen
t2 (in h) - Zeit Anfang Schneefall, relativ zum Start Schippen
w(t) - Weg geschaufelt abhängig von t
sh(t) - Schneehöhe abhängig von t
k (in cm/h) Stärke des Schneefalls, konstant
Generell gilt, es schneit konstant mit k, die Änderung der Schneehöhe mit der Zeit ist dann
sh‘(t) = k -> sh(t) = k*t+c
Wenn es anfängt zu schneien (zum Zeitpunkt -t2 da relativ zum Start Schippen) ist Schneehöhe 0:
sh(-t2) = k*(-t2)+c = 0 -> k*t2=c, in der Zeit t2 hat es k* t2 geschneit, Höhe Schnee nach Start Schippen ist
sh(t) = k*(t2+t)
Geschwindigkeit von Achim ist umgekehrt proportional zur Schneehöhe, also können wir sagen, dass Geschwindigkeit Achim * Schneehöhe = k1 (ist konstant) = w‘(t)*sh(t) -> w‘(t) = k1/sh(t) = Geschwindigkeit Achim = k1/(k(t2+t))
Einfacher geschrieben (aus 2 Konstanten machen wir k2): w’(t) = k2/(t2+t)
Integrieren beider Seiten ergibt die Distanz
w(t) = k2*ln(t2+t)+c
Achim schaufelt 90m in der ersten halben Stunde also
w(1/2) = 90 = k2*ln(t2+t) + c |[1/2:0]
90 = k2*ln(1/2+t2) - k2*ln(t2)
90 = k2*ln((1/2+t2)/t2) (1)
TAchim schaufelt 30m in der zweiten halben Stunde also wie oben
30 = k2*ln(t2+t) + c |[1:1/2]
30 = k2*ln((1+t2)/(1/2+t2)) (2)
Aus (1) und (2) folgt dann
k2*ln((1/2+t2)/t2) = 3*k2*ln((1+t2)/(1/2+t2)) = k2*ln(((1+t2)/(1/2+t2))^3)
also ln((1/2+t2)/t2) = ln(((1+t2)/(1/2+t2))^3)
Dies rechnet netterweise Wolfram aus.
Oder über Gleichheit der Argumente, also
(1/2+t2)/t2 = ((1+t2)/(1/2+t2))^3
t2 = 0.095744h und damit ca. 5m45s
