Der Knobelthread

[Serpel]

Weil jeder Teiler t einer natürlichen Zahl n durch s:=n/t wieder einen Teiler von n definiert. Somit hat jede natürliche Zahl eine gerade Anzahl von Teilern, so lange der Fall s=t nicht vorkommen kann.
Bei Quadratzahlen - und nur bei diesen - kommt dieser Fall aber (genau einmal) vor. Sonst wären es keine Quadratzahlen.

Gruß
Serpel

 

[Ziegenpeter]

Also das akzeptiere ich als Erklärung. Ich würde es aber anders herleiten, weil es einfach mehr hermacht :

Um die Anzahl der Teiler einer Zahl n herauszufinden, zerlegen wir n in Primfaktoren. Jede natürliche Zahl kann in Primfaktoren zerlegt werden, zB.

n = 28 = 2 * 2 * 7 =2^2 * 7^1.

Allgemein: n = p1^k1 * p2^k2 * .... hat dann (k1+1) * (k2+1) * ... Teiler

EDIT: ich vergaß zu erwähnen, warum das so ist:
Potenzen der Primzahl 5, at = Anzahl Teiler:
n = 5 = 5^1; Teiler: 1,5; at(n)=2
n = 25 = 5^2; Teiler: 1,5,5^2; at(n)=3
n = 125 = 5^3; Teiler: 1,5,5^2,5^3; at(n)=4
Die Regel ist also, Anzahl der Teiler einer potentierten Primzahl ist at(p^k)=k+1


Das Produkt, also die Anzahl der Teiler von n, ist dann gerade, wenn einer der Faktoren gerade ist. Damit das Produkt ungerade wird, müssen also alle ki gerade sein (dann sind alle ki +1 ungerade). Da ki gerade sein soll, kann man ki = 2 * mi schreiben, es gilt also n = p1^2m1 * p2^2m2 * ... = (p1^m1 * p2^m2 ...)^2
=> Quadratzahl => ungerade Anzahl von Teilern.

Serpel hat das Spiel.

 

[Serpel]

Viel zu kompliziert (bei gleicher Aussagekraft), weil das Wesentliche durch Formeln verschleiert wird.

Gruß
Serpel

 

[Ziegenpeter]

Viel zu kompliziert (bei gleicher Aussagekraft), weil das Wesentliche durch Formeln verschleiert wird.

Gruß
Serpel

Für den Zweck dieser einfache Aufgabe stimme ich dir da zu, aber wenn es komplizierter wird kommt man nur dann weiter, wenn man gescheites Werkzeug hat und anwenden kann. Deshalb finde ich das ein gutes einfaches Beispiel um das zu üben, natürlich ist das hier mit Kanonen auf Spatzen geschossen.

 

[Serpel]

In dem Zusammenhang fällt mir die Aufgabe mit den Cowboys ein, die an einem (geradlinigen) Flussufer mit Draht ein möglichst großes rechteckiges Feld für ihre Herde abstecken wollen. Wie müssen sie das machen, wenn sie die gesamte Rolle brauchen dürfen (die am Fluss gelegene Seite braucht natürlich keinen Draht)?

Das Rätsel kann man auch entweder mit der schlichten Kenntnis, dass das Quadrat bei gegebenem Umfang unter allen Rechtecken maximalen Flächeninhalt hat lösen oder aber kompliziert mit Formeln herleiten.

Erlaubt ist beides!

Gruß
Serpel

 

[Ziegenpeter]

Sicher daß die am Fluss keinen Zaun brauchen?

 

[Bedapane]

Wenn das Quadrat bei gegebenem Umfang unter allen Rechtecken den maximalen Flächeninhalt hat, heißt das, Gesamtlänge der Rolle dividiert durch 4 (weil 4 gleich lange Seiten), nachdem die Flußseite nicht benötigt wird, Gesamtlänge der Rolle durch 3.

 

[Serpel]

Schwimmfähige Kühe sind nicht zugelassen ...

@Bedapane: so einfach dann doch wieder nicht!

Gruß
Serpel

 

[GSMilan]

Denkt an Gauß:
1+2+3+...+100 =

LG

 

[Ziegenpeter]

Schwimmfähige Kühe sind nicht zugelassen ...

@Bedapane: so einfach dann doch wieder nicht!

Gruß
Serpel

genau, wenn eine Seite fehlt ist es nicht so einfach, also ich nehme den komplizierten Lösungsansatz und reite mal wieder auf den Formeln rum, dann muss man a * b maximieren mit der Bedingung 2 * b + a = 1 => a = 1 - 2b (ganze Rolle), in a * b eingesetzt gibt a * b = Fläche = b - 2b^2, erste Ableitung davon = 0 setzen um Extremum zu finden, gibt b = 1/4, zweite Ableitung ist negativ, indiziert ein Maximum, d.h. a = 1 - 2 * 1/4 = 1/2; D.h, die Seiten müssen jeweils 2 mal ein Viertel der Rolle und einmal die Hälfte der Rolle betragen.

Und dann fällt auf, dass das 2 Quadraten nebeneinander entspricht

 

[Ziegenpeter]

Denkt an Gauß:
1+2+3+...+100 =

LG

n * (n+1) / 2

das hat der angeblich mit 9 Jahren so nebenbei in einer Schulstunde herausgefunden, als der Lehrer die Schüler mit dem Berechnen der Summe der ersten 100 Zahlen beschäftigen wollte...

 

[achimL]

genau, wenn eine Seite fehlt ist es nicht so einfach, also ich nehme den komplizierten Lösungsansatz und reite mal wieder auf den Formeln rum, dann muss man a * b maximieren mit der Bedingung 2 * b + a = 1 => a = 1 - 2b (ganze Rolle), in a * b eingesetzt gibt a * b = Fläche = b - 2b^2, erste Ableitung davon = 0 setzen um Extremum zu finden, gibt b = 1/4, zweite Ableitung ist negativ, indiziert ein Maximum, d.h. a = 1 - 2 * 1/4 = 1/2; D.h, die Seiten müssen jeweils 2 mal ein Viertel der Rolle und einmal die Hälfte der Rolle betragen.

Viel zu einfach! Ich schlage Lagrange vor, Maximiere a*b unter der Nebenbedingung a+2b=1. Lagrangefunktion bilden: L=a*b+Lambda(1-a-2b)
partiell nach a, b und Lambda ableiten ergibt:

La= b-Lambda
Lb=a-2Lambda
LLambda=1-a-2b

Alle drei Null setzen (notw. Bed. für Max) und in den ersten beiden Lambda eliminieren ergibt a=2b, in LLambda einsetzen ergibt b=1/4 und damit a=1/2

 

[Serpel]

Also wenn schon kompliziert, dann Lagrange! Aber Ziegenpeter war Erster! Also sein Spiel!

Kommt noch die einfache Variante?

Gruß
Serpel

 

[Ziegenpeter]

Viel zu einfach! Ich schlage Lagrange vor, Maximiere a*b unter der Nebenbedingung a+2b=1. Lagrangefunktion bilden: L=a*b+Lambda(1-a-2b)
partiell nach a, b und Lambda ableiten ergibt:

La= b-Lambda
Lb=a-2Lambda
LLambda=1-a-2b

Alle drei Null setzen (notw. Bed. für Max) und in den ersten beiden Lambda eliminieren ergibt a=2b, in LLambda einsetzen ergibt b=1/4 und damit a=1/2

„Auch Achim Lerch, Dozent für Volkswirtschaftslehre an der Uni Kassel
und begeisterter Kradler macht sich mit 45 so seine Lebensgedanken...“

Ich wusste schon immer, dass Dozenten und Professoren ganz spezielle Menschen sind

 

[achimL]

„Auch Achim Lerch, Dozent für Volkswirtschaftslehre an der Uni Kassel
und begeisterter Kradler macht sich mit 45 so seine Lebensgedanken...“

Das stimmt ja alles nicht mehr. Bin nicht mehr an der Uni Kassel, und auch nicht mehr 45

Ich wusste schon immer, dass Dozenten und Professoren ganz spezielle Menschen sind

Da könntest Du recht haben...

 

[Ziegenpeter]

Freispiel

 

[Andreas800gs]

...ihr seid echt eklig !

 

[Ziegenpeter]

...ihr seid echt eklig !

 

[achimL]

...ihr seid echt eklig !

Ich vermute, Andreas hat eine Mathe-Phobie (weit verbreitet) und meint gar nicht uns persönlich.

Dabei sind vermeintlch einfache nicht-mathematische Rätsel oft viel schwieriger, z.B.:

Wieviele Hörner hat ein Einhorn?

 

[Raubritter]

Ich oute mich bezüglich meiner Mathe-Phobie....
Allerdings habe ich als Kind einmal unseren Matheleher in Bedrängnis gebracht mit der Frage:

Wie teilt man die Fläche eines Kreises so, dass der Umfang jedes der zwei Teilflächen für sich betrachtet wieder dem Umfang des ursprünglichen Kreises entspricht?