Der Knobelthread

[Ziegenpeter]

Gibt es Primzahlen die sich in der Form 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 darstellen lassen (n aus N (also 1, 2, 3 ...))?

 

[willi.k]

mal aus der Hüfte:
da die o.g. Form durch 2n+1 teilbar ist, dürfte das Primzahlen ausschließen, es sei denn es gibt Ausnahmen (die ich natürlich nicht überschaue)




Quelle

 

[willi.k]

ähmm,.... na ja,.... keine Reaktion vom Meister....

das wird wohl bedeuten, dass ich erstens mit meiner gegoogelten Weisheit kilometerweit daneben lag

und zweitens natürlich nach Art der eingangs gestellten Frage nur ein "Ja" anzunehmen ist.

Gruß

Willi, der sich besser zurückhalten sollte, wenn er keine Ahnung hat

 

[Ziegenpeter]

ähmm,.... na ja,.... keine Reaktion vom Meister....

das wird wohl bedeuten, dass ich erstens mit meiner gegoogelten Weisheit kilometerweit daneben lag

und zweitens natürlich nach Art der eingangs gestellten Frage nur ein "Ja" anzunehmen ist.

Gruß

Willi, der sich besser zurückhalten sollte, wenn er keine Ahnung hat

Doch doch, das stimmt natürlich Der “Meister” war damit beschäftigt sich körperlich zu ertüchtigen, muss ja auch mal sein

Hat Google auch eine Herleitung dieser Tatsache ausgespuckt?

 

[Ziegenpeter]

Quelle

Ok habe gerade den Quellen Link entdeckt aber das ist etwas unübersichtlich, deshalb hier nochmal anders:

Es gilt (n + 1)^4 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1
dann ist unser Term 4n^3 + 6n^2 + 4n+1 = (n+1)^4 − n^4
Und dann mit dritter binomischer Formel* ((n+1)^2 + n^2) ((n+1)^2 − n^2)
und ((n+1)^2 + n^2) (2n+1).

* (a+b)(a-b) = a^2 - b^2

 

[Serpel]

Ohne diesen Trick kann man die Aufgabe auch an der Basis mit einer Transformation lösen, die das quadratische Glied eliminiert.

Die Transformationsformel für das allgemeine kubische Polynom dritten Grades an^3+bn^2+cn+d lautet n=m-b/(3a) und liefert beim Polynom 4n^3+6n^2+4n+1 die Transformation n=m-6/(3*4)=m-1/2 und damit die reduzierte Form 4m^3+m.

Deren Nullstelle m=0 springt unmittelbar ins Auge und liefert über die Rücktransformation die Nullstelle n=-1/2 des ursprünglichen Polynoms. Damit kann man aber den Faktor n+1/2 beziehungsweise 2n+1 abspalten.

-> Wieder mal ne coole Aufgabe!

Gruß
Serpel

PS. Die reduzierte Form besitzt noch die beiden weiteren (komplexen) Nullstellen m=+/-0.5i. Nach Rücktransformation bekommt man hier die beiden weiteren Nullstellen n=-0.5+/-0.5i des ursprünglichen Polynoms, so dass seine vollständige Faktorisierung lautet:

4n^3+6n^2+4n+1 = 0.5(2n+1)(2n+1-i)(2n+1+i)

 

[Ziegenpeter]

Serpel hat sich mal wieder das Fleiß-Sternchen verdient. Mehr, auch über Serpels Lösung, kann man z.B. Hier finden, Zusammenfassung auf Seite 15.

Willi hat das Spiel, da er die Lösung zuerst gepostet hat. Bis sich Willi meldet, folgende Frage:

Willi fährt mit seinem Sohn im Zug. Die beiden sitzen sich gegenüber, der Sohn in Fahrtrichtung. Sein Sohn hat eine Waffel Eis in der rechten Hand und eine Schnur mit einem, mit Helium gefüllten Luftballon, der über ihm schwebt, in der Linken. Plötzlich bremst der Zug scharf, jemand hat die Notbremse gezogen. Aus Schreck lässt sein Sohn die Eiswaffel los. Wie werden sich Luftballon und Eiswaffel verhalten?

 

[Serpel]

Die Waffel wird sich (relativ zum Zug) näherungsweise auf einer Parabelbahn in Bewegungsrichtung des Zugs nach vorn und unten bewegen. Der Ballon erfährt durch das Abbremsen der Luftmoleküle im Raum eine Auftriebskraft in horizontaler Richtung nach hinten. Er bewegt sich also entgegengesetzt zur Fahrtrichtung und somit im Prinzip auch entgegengesetzt zur Waffel.

Gruß
Serpel

 

[willi.k]

Willi hat das Spiel, da er die Lösung zuerst gepostet hat.

Freispiel! zum Polynom

Mein Sohn hat es mir gerade erklärt, was im Zug passiert:

Die Eiswaffel fällt vor ihm (in Fahrtrichtung) zu Boden, da die einzige einwirkende Kraft, die Erdbeschleunigung ist. Die Bremsung des Zuges wirkt nicht auf die Eiswaffel ein. Sie legt eine Parabel zurück bis auf den Boden.

Der Ballon beschreibt eine Rotation mit Drehpunkt in der Hand. Die Kraft nach oben überlagert sich mit der Bremswirkung bis zu einem Gleichgewicht ( einmal cos,gegen sin). Der Ballon "wippt" nach vorne und dann in die Senkrechte zurück.

 

[Ziegenpeter]

Also bei der Eiswaffel seid ihr euch ja einig, abhängig von der Stärke der Bremsung wird die Eiswaffel relativ zum Zug in einer Parabel nach vorne auf den Boden fallen, oder, wenn scharf genug gebremst wird, in Willi’s Schoß
Der Luftballon wird tatsächlich relativ nach hinten entgegen der Fahrtrichtung wippen (also nicht nach vorne!), durch das Abbremsen und die Trägheit der Luftmoleküle wird sich in Fahrtrichtung ein geringfügig höherer Luftdruck aufbauen, der den Ballon nach hinten drückt.

 

[willi.k]

Der Ballon erfährt durch das Abbremsen der Luftmoleküle im Raum eine Auftriebskraft in horizontaler Richtung nach hinten. Er bewegt sich also entgegengesetzt zur Fahrtrichtung und somit im Prinzip auch entgegengesetzt zur Waffel.

dem wollte ich gerade zustimmen!

 

[Serpel]

Dann nehme ich mal das Freispiel ... nicht zuletzt auch, weil man dies hier als Aufforderung für "höhere" Mathematik missverstehen kann:

Mehr, auch über Serpels Lösung, kann man z.B. Hier finden, Zusammenfassung auf Seite 15.

Wer kann mit del Ferros Algorithmus alle drei Nullstellen des kubischen Polynoms x^3-9x^2+3x-27 bestimmen (also nicht durch Raten einer Lösung und anschließender Polynomdivision)?

Gruß
Serpel

 

[Gast 23088]

Wer kann mit del Ferros Algorithmus alle drei Nullstellen des kubischen Polynoms x^3-9x^2+3x-27 bestimmen

Alle 3?

Edit: Hatte nicht alles gelesen, nicht nur reelle, dann ist meine Frage geklärt...

 

[Ziegenpeter]

Meinst du die Formeln aus der Quelle? Wenn ja, dann sind das meine auf die Schnelle getippten IPad Notizen:

x^3-9x^2+3x-27

a=1; b=-9; c=3; d=-27

p =3ac−b^2 = 9-81 = -72
q=2b^3 -9abc+27a^2d = -1458 - -243 - 729 = -1944

D=q^2+4p^3 = 2286144 > 0 => 1 reelle und 2 komplexe Nullstellen
u = 1/2 * sqrt3(7776 + 6048) = 12
v = 1/2 * sqrt3(7776 - 6048) = 6

y1 = 18
y2 = -(12+6)/2 + (12-6)/2 * sqrt(3)i = -9 + 3*sqrt(3)i
y3 = -(12+6)/2 - (12-6)/2 * sqrt(3)i = -9 - 3*sqrt(3)i


x1 = (18+9) / 3 = 9
x2 = (-9 + 3*sqrt(3)i - -9) / 3 = i sqrt(3)
x3 = (-9 - 3*sqrt(3)i - -9) / 3 = -i sqrt(3)

 

[gshogi]

Meinst du die Formeln aus der Quelle? Wenn ja, dann sind das meine auf die Schnelle getippten IPad Notizen:

x^3-9x^2+3x-27

a=1; b=-9; c=3; d=-27

p =3ac−b^2 = 9-81 = -72
q=2b^3 -9abc+27a^2d = -1458 - -243 - 729 = -1944

D=q^2+4p^3 = 2286144 > 0 => 1 reelle und 2 komplexe Nullstellen
u = 1/2 * sqrt3(7776 + 6048) = 12
v = 1/2 * sqrt3(7776 - 6048) = 6

y1 = 18
y2 = -(12+6)/2 + (12-6)/2 * sqrt(3)i = -9 + 3*sqrt(3)i
y3 = -(12+6)/2 - (12-6)/2 * sqrt(3)i = -9 - 3*sqrt(3)i


x1 = (18+9) / 3 = 9
x2 = (-9 + 3*sqrt(3)i - -9) / 3 = i sqrt(3)
x3 = (-9 - 3*sqrt(3)i - -9) / 3 = -i sqrt(3)

?

 

[Ziegenpeter]

?

Die Nullstellen des von Serpel gefragten Polynoms sind

x1 = (18+9) / 3 = 9
x2 = (-9 + 3*sqrt(3)i - -9) / 3 = i sqrt(3)
x3 = (-9 - 3*sqrt(3)i - -9) / 3 = -i sqrt(3)

der Rest des Posts ist (unvollständig aufgeschrieben weil mir zu lang) die Berechnung nach den Formeln deren Herleitung du in dieser Quelle findest (Formeln ab Seite 15). Wobei ich nicht sicher bin ob Serpel dieses Vorgehen meinte...

 

[Serpel]

Doch, genau dieses Vorgehen meinte ich! Souverän gelöst und damit dein Spiel!

Möchtest du auch noch eine quartische Gleichung? Natürlich erst, wenn ich wieder dran bin ...

Gruß
Serpel

 

[Ziegenpeter]

Möchtest du auch noch eine quartische Gleichung? Natürlich erst, wenn ich wieder dran bin ...

Gruß
Serpel

Meinst du Ferrari? Hilfe, nein höchstens wenn Achim oder wer anders “Hier” schreit und lösen möchte

Ich hätte hier etwas einfaches wofür man fast keine Mathematik benötigt:

Willi möchte sich einen neuen Garderobenspiegel kaufen, in dem er sich ganz sehen kann. Er fragt sich nun, wie hoch muss der Spiegel mindestens sein, damit er sich vom Scheitel bis zu den Füßen sehen kann?

 

[Serpel]

Halb so hoch wie Willi - falls die beiden parallel zueinander stehen?

Gruß
Serpel

 

[Ziegenpeter]

Genau, kannst du auch die Begründung angeben?