Hier eine Herleitung ohne explizite Integralrechnung, die weniger intuitiv aber trotzdem schön und hoffentlich nachvollziehbar korrektist:
Wirft man ein Streichholz beliebiger Länge
L auf das Gitter, dann ist
X die Anzahl der Schnittpunkte mit dem Gitter, dann sind die Wahrscheinlichkeiten für
X Schnittpunkte
P(X=0) = p0, P(X=1) = p1, P(X=2) = p2, ...
Der Erwartungswert der Anzahl der Schnittpunkte pro Wurf ergibt sich dann als
E(X) = 0p0 + 1p1 + 2p2 + 3p3 + ... = p1 + 2p2 + 3p3 + ... = Sum(P(X=k)*k, k=0, unendlich) (Analog Würfel: 1/6*1+ ...+ 1/6*6 = 3,5)
E(X) ist abhängig von der Länge
L des Streichholzes, also eine Funktion von
L.
E(L) ist monoton steigend (längeres Streichholz = höhere Trefferwahrscheinlichkeit).
Wenn man 2 Streichhölzer mit den Längen
L1, L2 getrennt auf das Gitter wirft, dann gilt
E(X1 + X2) = E(X1) + E(X2) d.h. die mittlere Anzahl der Treffer ist die Summe der beiden Erwartungswerte.
Mit etwas Überlegung sieht man, dass das auch gilt, wenn man die beiden Streichhölzer, bevor man sie wirft, in einem beliebigen zufälligen Winkel miteinander starr verbindet und dann nur einmal wirft. (Wenn man das Gebilde 2 mal wirft und sich dann jeweils nur ein Streichholz anschaut und das andere als ‚Anhängsel‘ vernachlässigt, dann sollte das Ergebnis identisch zu getrennten Würfen mit jeweils nur einem Streichholz sein. Der Erwartungswert ändert sich auch nicht, wenn man die Treffer der beiden starr verbundenen Streichhölzer sofort bei nur einem Wurf auswertet. (Erwartungswert ist linear))
Daraus folgt dann
E(L1 +L2) = E(L1) + E(L2) bzw. E(L1 +L2 + ... + Ln) = E(L1) + E(L2) + ... + E(Ln) für
n Streichhölzer beliebiger Länge, die jeweils vor dem Wurf in einem beliebigen zufälligen Winkel starr zu einem Streckenzug verbunden wurden.
Die Funktion
E muss monoton steigend sein und die obige Gleichung erfüllen. Dies gilt für lineare Funktionen
E(L) = c * L
Jetzt kommt der „
grenzwertige“ Trick: wir nehmen sehr viele kurze Streichholzstücke und legen sie vor dem Wurf starr zu einem Kreis mit dem Durchmesser
l (unser Gitterabstand) zusammen (wir nähern uns dem Kreis beliebig genau an). Nach Voraussetzung muß auch für dieses Konstrukt die Formel
E(L) = c * L gelten. Für den Kreis gilt
L = pi * l und
E = 2, da egal wie man einen Kreis mit Durchmesser
l auf ein Gitter mit Abstand
l wirft, man immer genau 2 Schnittpunkte erhalten wird.
Eingesetzt ergibt das
2 = c*l*pi, die Konstante
c ist also
2/(l*pi) d.h.
allgemein E(L) = 2 / (l *pi) * L
Für
L = l ergibt sich dann
E(l) = 2/pi.
